两条直线垂直斜率的关系

垂直直线是指两条直线在交点处相互交成$90^\circ$角的直线。斜率是直线的一种度量，它可以表示为直线上任意两点之间纵坐标差与横坐标差的比值。两条直线垂直斜率的关系是它们的斜率之积为$-1$。

我们可以通过以下推导来证明这个关系。假设有两条垂直的直线$l_1$和$l_2$, 线$l_1$的斜率为$k_1$，线$l_2$的斜率为$k_2$。线$l_1$上任意两点$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$，线$l_2$上任意两点$C(x_3, y_3)$和$D(x_4, y_4)$。

因为直线$l_1$的斜率$k_1$可以表示为：

$$k_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

同样地，直线$l_2$的斜率$k_2$可以表示为：

$$k_2=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}$$

因为$l_1$和$l_2$垂直，所以它们的斜率之积为$-1$，即

$$k_1 k_2 = -1$$

将$k_1$和$k_2$的表达式代入上式，得到：

$$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot \frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}=-1$$

化简上式，得到：

$$(y_2-y_1)(y_4-y_3)=-1(x_2-x_1)(x_4-x_3)$$

这个式子也可以写成：

$$(x_1, y_1) (x_2, y_2)=-(x_3, y_3) (x_4, y_4)$$

这个式子表示的是向量相乘的结果，也就是两个向量的点积为负数。两条垂直直线上的向量是正交的。

我们得到了两条直线垂直斜率的关系：它们的斜率之积为$-1$。这个结论对于很多几何和代数问题都是非常重要的，因为它能够帮助我们快速地判断两条直线是否垂直。

垂直直线的斜率关系是数学中的基础知识之一。在平面直角坐标系中，如果两条直线相交成直角，则它们互相垂直，它们的斜率之积为-1。本文将对这个关系进行深入讨论。

让我们回顾一下斜率的定义：斜率可以理解为图像上一点的切线的斜率。设$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$是一个直线$T$上的两个点，假设它们的横坐标不相等，那么过两点的直线的斜率就是：

$$k_T=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

其中，$\triangle y$为两点之间的垂直距离，$\triangle x$为两点之间的水平距离。这个式子可以用来计算任意直线的斜率。

下面，我们来证明当两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。

假设有两条直线$T_1$和$T_2$，且它们互相垂直，分别表示为：

$$T_1:y=k_1x+b_1$$

$$T_2:y=k_2x+b_2$$

我们用两条直线相交的点$P(x_0,y_0)$来说明。因为$P$点在直线$T_1$上，则有：

$$y_0=k_1x_0+b_1$$

同样的，因为$P$点在直线$T_2$上，则有：

$$y_0=k_2x_0+b_2$$

将以上两个等式整理，得：

$$k_1x_0+b_1=k_2x_0+b_2$$

移项并整理，得：

$$(k_1-k_2)x_0=b_2-b_1$$

解出$x_0$，得：

$$x_0=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$$

将$x_0$代入常数式，得：

$$y_0=k_1\cdot \frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}+b_1$$

将$k_1-k_2$用$-1\times (k_2-k_1)$来代替，得：

$$y_0=(-1)\cdot \frac{k_2(b_2-b_1)}{k_2-k_1}+\frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}$$

$$y_0=\frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}-\frac{k_2(b_2-b_1)}{k_2-k_1}$$

化简得：

$$y_0=\frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}-\frac{k_2b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}$$

$$y_0=\frac{k_1b_2-k_2b_2}{k_1-k_2}$$

因为$P(x_0,y_0)$是两条直线的交点，所以这个点同时处于直线$T_1$和$T_2$上，所以有：

$$k_1y_0+k_1b_1=x_0+k_2y_0+k_2b_2$$

代入上式，得：

$$k_1\cdot \frac{k_1b_2-k_2b_2}{k_1-k_2}+k_1b_1=k_2\cdot \frac{k_1b_2-k_2b_2}{k_1-k_2}+k_2b_2$$

同乘以$k_1-k_2$得：

$$k_1(k_1b_2-k_2b_2)+k_1k_2b_1=k_2(k_1b_2-k_2b_2)+k_1k_2b_2$$

化简得：

$$(k_1k_2)^2=1$$

所以有：

$$k_1\times k_2=-1$$

证毕。

当两条直线$T_1$和$T_2$相交成直角时，它们的斜率之积为-1。这个知识点非常重要，是解决许多问题的基础。